Author: Артем

Міні тест

З перелічених властивостей оберіть ті, які відносяться до:
Паралелограма;
Прямокутника;
Ромба;
Квадрата.
• всі сторони рівні;
• діагоналі взаємно перпендикулярні;
• діагоналі ділять кути навпіл.
• всі кути прямі
• діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
• всі кути прямі;
• всі сторони рівні;
• діагоналі рівні;
• діагоналі взаємно перпендикулярні;
• діагоналі ділять кути навпіл.
• протилежні сторони рівні;
• протилежні кути рівні;
• діагоналі, перетинаючись, діляться навпіл;
• сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.

Сквирська ЗОШ І-ІІІ ст. №3
ім. П.Тисьменецького

Паралелограм

Історичні відомості:
Термін паралелограм походить від поєднання грецьких слів паралелос — «той, що йде поряд», і грамма — «риска, лінія».
Поняття паралелограма та деякі його властивості були відомі вже Піфагору та його учням (VI ст. до н. е.).
Вважають, що термін паралелограм був уведений Евклідом (ІІІ ст. дон. е.). У його «Началах» доведена теорема про поділ паралелограма на рівні трикутники та рівність його протилежних сторін і кутів. Однак він не згадує про властивість точки перетину діагоналей паралелограма.
Повна теорія паралелограмів була розроблена в кінці середніх віків і з’явилась у підручниках лише у XVII ст.
ПАРАЛЕЛОГРАМ
Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.
Паралелограм — це чотирикутник, у якого кожна сторона паралельна протилежній стороні.
Висотою паралелограма називається відрізок, що є перпендикуляром до прямої, яка містить протилежну сторону.
У паралелограма з кожної його вершини можна провести по дві висоти. Висоти, проведені з вершин тупих кутів паралелограма, лежать у паралелограмі; висоти, проведені з гострих тупих кутів паралелограма, лежать зовні паралелограма.

Периметр паралелограма можна обчислити за формулою: Р = 2(а + в), де а і в – довжини сторін паралелограма.
Теореми
Теорема (ознаки паралелограма)
Якщо в чотирикутнику: кожна сторона дорівнює протилежній стороні, або дві протилежні сторони рівні і паралельні, або діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник – паралелограм.
Отже, чотирикутник АВСD - паралелограм, якщо виконується одна з таких умов:
1) АВ || CD і ВС || AD (означення);
2)АВ = CD і ВС = AD (ознака 1);
3) АВ = CD і АВ || CD (ознака 2);
4)АО =ОС і ВО= OD (ознака 3)
Теорема (властивість протилежних кутів і сторін)
Протилежні сторони паралелограма рівні і протилежні кути рівні
Наслідок . Сума кутів паралелограма, що прилягають до однієї сторони дорівнює 180º.
Оскільки, кожний кут паралелограма дорівнює протилежному куту, а сума всіх його кутів дорівнює 360°, то жоден з кутів не може бути більшим за 180°. Отже, паралелограм – чотирикутник опуклий.
Це цікаво
Якщо провести бісектриси двох протилежних кутів паралелограма, то вони будуть паралельні або співпадуть.
Якщо провести бісектриси двох кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, то вони будуть перпендикулярні.

Види паралелограмів
Прямокутник
Паралелограм, усі кути якого прямі, називається прямокутником.
Прямокутник - окремий вид паралелограма, тому він має всі властивості паралелограма.
Теорема (властивість діагоналей прямокутника)
Діагоналі прямокутника рівні.
Ромб
Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом
Ромб - окремий вид паралелограма, тому має всі властивості паралелограма. Має ромб ще й інші властивості.
Теорема (властивість діагоналей ромба)
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять кути ромба навпіл.
Квадрат
Ромб, усі кути якого прямі, називається квадратом
Можна сказати й так:
квадрат- це прямокутник, усі сторони якого рівні.
Оскільки квадрат є і ромбом, і прямокутником, то він має всі властивості ромба і прямокутника.